Question

3．如圖，已知拋物線C₁：y=ax²+4ax+4a-5的頂點(diǎn)為D，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），且AB=6．
（1）求拋物線C₁的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將直線y=-$\frac{1}{3}$x沿y軸向下平移m個(gè)單位（m＞0），若平移后的直線與拋物線C₁相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），且MN=$\sqrt{10}$，求m的值；
（3）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C₁繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)為C，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)D、C、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)消元解方程組，可得5x²+23x+9m-45=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得MN²=（n+2）²+（5+5）²，ME²=（n+5）²+5²，NE²=（n+3-n）²+5²=34，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得n的值，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線y=a（x+2）²-5，得
對(duì)稱軸為x=-2．
由拋物線y=a（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，且AB=6，得
-2+3=1，即B（1，0），-2-3=-5，即A（-5，0），
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
9a-5=0，解得m=$\frac{5}{9}$，
拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{5}{9}$（x+2）²-5，頂點(diǎn)D（-2，-5）；
（2）如圖1，
設(shè)MN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立MN與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{9}（x+2）^{2}-5}\\{y=-\frac{1}{3}x-m}\end{array}\right.$，
化簡(jiǎn)，得
5x²+23x+9m-45=0．
x₁+x₂=-$\frac{23}{5}$，x₁x₂=$\frac{9m-45}{5}$．
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$．
（y₁-y₂）²=（kx₁-kx₂）²=k²（x₁+x₂）²=（-$\frac{1}{3}$）²[（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$]
由MN=$\sqrt{10}$$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$，得
（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$+（-$\frac{1}{3}$）²[（-$\frac{23}{5}$）²-4×$\frac{9m-45}{5}$]=10，
化簡(jiǎn)，得180m=1204，
解得m=$\frac{301}{45}$；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得
C（n，5），F(xiàn)（n+3，0），P（n-3，0）．
F、A關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱，得
點(diǎn)坐標(biāo)（$\frac{n-2}{2}$，0）．
DC²=（n+2）²+（5+5）²，DF²=（n+5）²+5²，CF²=（n+3-n）²+5²=34；
①當(dāng)CD²+DF²=CF²時(shí)，（n+2）²+（5+5）²+（n+5）²+5²=34，
化簡(jiǎn)，得n²+7n+60=0，△=7²-4×1×60=-191＜0，方程無(wú)解；
②如圖2，

當(dāng)CD²+CF²=DF²時(shí)，（n+2）²+（5+5）²+34=（n+5）²+5²，
化簡(jiǎn)，得6n=88，解得n=$\frac{44}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{44}{3}-2}{2}$=$\frac{19}{3}$，
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{19}{3}$，0）；
③如圖3，
當(dāng)CF²+DF²=CD²時(shí)，（n+5）²+5²+34=（n+2）²+（5+5）²，
化簡(jiǎn)，得6n=20，
解得n=$\frac{10}{3}$，
$\frac{n-2}{2}$=$\frac{\frac{10}{3}-2}{2}$=$\frac{2}{3}$，
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）．
綜上所述：若以點(diǎn)M、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)（$\frac{19}{3}$，0），（$\frac{2}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱得出A、B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用代入消元法得出5x²+23x+9m-45=0是解題關(guān)鍵，又利用了勾股定理得出關(guān)于m的方程；利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用勾股定理得出關(guān)于n的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏