Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、B，點A的坐標為（2，3），點B的橫坐標為6．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如果點C、D分別在x軸、y軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，求直線CD的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得到3=$\frac{k}{2}$，k=6，求出反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$，求出點B的坐標為（6，1），把點A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b即可得到結果；
（2）根據(jù)兩點間的距離公式得到AB的長=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由于以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，得到AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，直線CD的解析式可設為y=-$\frac{1}{2}$x+n，求得D點坐標為（0，n），C點坐標為（2n，0），根據(jù)勾股定理列方程得到n=2或-2，即可得到結論．

解答 解：（1）∵點A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴3=$\frac{k}{2}$，k=6．∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$
把x=6代入上式得：y=1，
即點B的坐標為（6，1），
∵點A（2，3），B（6，1）在y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{1=6k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；

（2）∵一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
AB的長=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，
直線CD的解析式可設為y=-$\frac{1}{2}$x+n，
則D點坐標為（0，n），C點坐標為（2n，0），
在Rt△ODC中，OD²+OC²=DC²，
∴n²+（2n）²=20，解得n=2或-2，
∴直線CD的函數(shù)關系式為y=-$\frac{1}{2}$x+2或y=-$\frac{1}{2}$x-2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，點在反比例函數(shù)圖象上，則點的坐標滿足圖象的解析式；運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握平行四邊形的性質和兩直線平行線的解析式的關系以及勾股定理．