Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）如果點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，求直線CD的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，得到3=$\frac{k}{2}$，k=6，求出反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，1），把點(diǎn)A（2，3），B（6，1）代入y=kx+b即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到AB的長=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由于以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，得到AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，直線CD的解析式可設(shè)為y=-$\frac{1}{2}$x+n，求得D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2n，0），根據(jù)勾股定理列方程得到n=2或-2，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，3）在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴3=$\frac{k}{2}$，k=6．∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$
把x=6代入上式得：y=1，
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，1），
∵點(diǎn)A（2，3），B（6，1）在y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{1=6k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4；

（2）∵一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
AB的長=$\sqrt{（6-2）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=2$\sqrt{5}$，
直線CD的解析式可設(shè)為y=-$\frac{1}{2}$x+n，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2n，0），
在Rt△ODC中，OD²+OC²=DC²，
∴n²+（2n）²=20，解得n=2或-2，
∴直線CD的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x+2或y=-$\frac{1}{2}$x-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式；運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握平行四邊形的性質(zhì)和兩直線平行線的解析式的關(guān)系以及勾股定理．