Question

問題探究：
（1）如圖①所示是一個(gè)半徑為

3

2π

，高為4的圓柱體和它的側(cè)面展開圖，AB是圓柱的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)B點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．（探究思路：將圓柱的側(cè)面沿母線AB剪開，它的側(cè)面展開圖如圖①中的矩形ABB′A′，則螞蟻爬行的最短路程即為線段AB′的長）；
（2）如圖②所示是一個(gè)底面半徑為

2

3

，母線長為4的圓錐和它的側(cè)面展開圖，PA是它的一條母線，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程；
（3）如圖③所示，在②的條件下，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周到達(dá)母線PA上的一點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．

Answer 1

分析：（1）螞蟻爬行的最短路程為矩形的對角線的長度，由勾股定理可求得．
（2）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中的AA′的連線，可求得△PAA′是等邊三角形，則AA′=PA=4．
（3）螞蟻爬行的最短路程為圓錐展開圖中點(diǎn)A到PA的距離．

解答：解：（1）∵BB′=2π×

3

2π

=3，
AB′=

AB2+BB′2

=

42+32

=5．
即螞蟻爬行的最短路程為5．（4分）

（2）連接AA′，則AA′的長為螞蟻爬行的最短路程，
設(shè)r₁為圓錐底面半徑，r₂為側(cè)面展開圖（扇形）的半徑，
則r1=

2

3

，r2=4，
由題意得：2πr1=

nπr2

180

，即2×π×

2

3

=

n

180

×π×4，
∴n=60，
∴△PAA′是等邊三角形，
∴最短路程為AA′=PA=4．

（3）如圖③所示是圓錐的側(cè)面展開圖，
過A作AC⊥PA′于點(diǎn)C，
則線段AC的長就是螞蟻爬行的最短路程．
∴AC=PA•sin∠APA'=4×sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴螞蟻爬行的最短距離為2

3

．

點(diǎn)評：本題利用了勾股定理，矩形的性質(zhì)，圓周長公式，弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)求解．