Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

解：（1）由圖可知y=過點A（2，2），B（-1，m），
把A（2，2）代入y=得：2=，即n=4，
∴反比例函數(shù)的關系式為：y=，
把B（-1，m）代入y=得：m==-4，
∴點B的坐標為（-1，-4），
把點A（2、2）和點B（-1，-4）代入y=kx+b得：
解，
得：
則一次函數(shù)的關系式為：y=2x-2；

（2）由圖象可知：
當x＜-1或0＜x＜2時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值；


（3）設一次函數(shù)y=2x-2與y軸的交點為點G，
令一次函數(shù)解析式中x=0，得到y(tǒng)=-2，
∴點G的坐標為（0，-2），OG=|-2|=2，
可得：S_△BOG=|-2|×|-1|×=1，S_△AOG=|-2|×|2|×=2，
則S_△AOB=S_△BOG+S_△AOG=1+2=3．
分析：（1）由圖形得到一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點A和B的坐標，將將x=2，y=2代入反比例函數(shù)解析式中求出n的值，確定出反比例函數(shù)解析式，再將x=-1，y=m代入反比例解析式中求出m的值，確定出B的坐標，然后將A和B的坐標代入一次函數(shù)y=kx+b中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）由A和B的橫坐標及0，將x軸分為四個范圍，在圖形中找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)下方的范圍，即為所求的x的范圍；
（3）設一次函數(shù)與y軸交于G點，令一次函數(shù)解析式中x=0求出對應的函數(shù)值，即為G的縱坐標，得出OG的長，OG將三角形AOB分為兩個三角形，即三角形OBG與三角形OAG，求出即可．
點評：此題考查了反比例與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形的面積公式，以及坐標與圖形性質，利用了數(shù)形結合的思想，數(shù)形結合思想是數(shù)學中重要的思想方法，做題時要靈活用．