Question

【題目】（1）如圖（1），在△ABC 中，∠BAC=70°，點(diǎn) D 在 BC 的延長(zhǎng)線上，三角形的內(nèi)角∠ABC 與外角∠ACD 的角平分線 BP，CP 相交于點(diǎn) P，求∠P 的度數(shù).（寫出完整的解答過程）

（感知）：圖（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代數(shù)式表示）

（探究）：如圖（2）在四邊形 MNCB 中，設(shè)∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD 的角平分線 BP，CP 相交于點(diǎn) P.為了探究∠P 的度數(shù)與 α 和 β 的關(guān)系，小明同學(xué)想到將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化圖（1）的模型，因此，他延長(zhǎng)了邊 BM 與 CN，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn) A， 如圖（ 3 ）， 則∠ A= （用含有 α 和 β 的代數(shù)式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代數(shù)式表示）

（拓展）：將（2）中的 α+β＞180°改為 α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC 與外角∠NCD 的角平分線所在的直線相交于點(diǎn) P，其它條件不變，請(qǐng)直接寫出∠P＝ 　　．（用 α，β的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）35°；感知：m°，探究：α+β-180°，（α+β）-90°；拓展：90°-α-β

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CBP=∠ABC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義表示出∠DCP，然后整理即可得到∠P=∠A，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．

[感知]求∠P度數(shù)的方法同（1）

[探究] 添加輔助線，利用（1）中結(jié)論解決問題即可；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCN，再表示出∠DCN，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠DCN，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠P+∠PBC=∠PCD，然后整理即可得解；

拓展：同探究的思路求解即可

（1）∵BP平分∠ABC，

∴∠CBP=∠ABC，

∵CP平分△ABC的外角，

∴∠DCP=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC，

在△BCP中，由三角形的外角性質(zhì)，∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P，

∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠P，

∴∠P=∠A=×70°=35°．

感知：由（1）知∠P=∠A

∵∠BAC=m°，

∴∠P=m°，

故答案為：m°，

探究：延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于A．

∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-（180°-α）-（180°-β）=α+β-180°，

由（1）可知：∠P=∠A，

∴∠P=（α+β）-90°；

故答案為：α+β-180°，（α+β）-90°；

[拓展] 如圖③，延長(zhǎng)MB交NC的延長(zhǎng)線于A．

∵∠A=180°-α-β，∠P=∠A，

∴∠P=（180°-α-β）=90°-α-β

故答案為：90°-α-β