【題目】(1)如圖(1),在△ABC 中,∠BAC=70°,點(diǎn) D 在 BC 的延長(zhǎng)線上,三角形的內(nèi)角∠ABC 與外角∠ACD 的角平分線 BP,CP 相交于點(diǎn) P,求∠P 的度數(shù).(寫出完整的解答過程)
(感知):圖(1)中,若∠BAC=m°,那么∠P= °(用含有 m 的代數(shù)式表示)
(探究):如圖(2)在四邊形 MNCB 中,設(shè)∠M=α,∠N=β,α+β>180°,四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD 的角平分線 BP,CP 相交于點(diǎn) P.為了探究∠P 的度數(shù)與 α 和 β 的關(guān)系,小明同學(xué)想到將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化圖(1)的模型,因此,他延長(zhǎng)了邊 BM 與 CN,設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn) A, 如圖( 3 ), 則∠ A= (用含有 α 和 β 的代數(shù)式表示), 因此∠P= .(用含有 α 和 β 的代數(shù)式表示)
(拓展):將(2)中的 α+β>180°改為 α+β<180°,四邊形的內(nèi)角∠MBC 與外角∠NCD 的角平分線所在的直線相交于點(diǎn) P,其它條件不變,請(qǐng)直接寫出∠P= .(用 α,β的代數(shù)式表示)
【答案】(1)35°;感知:m°,探究:α+β-180°,(α+β)-90°;拓展:90°-α-β
【解析】
(1)根據(jù)角平分線的定義可得∠CBP=∠ABC,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義表示出∠DCP,然后整理即可得到∠P=∠A,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.
[感知]求∠P度數(shù)的方法同(1)
[探究] 添加輔助線,利用(1)中結(jié)論解決問題即可;根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCN,再表示出∠DCN,然后根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC,∠PCD=∠DCN,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠P+∠PBC=∠PCD,然后整理即可得解;
拓展:同探究的思路求解即可
(1)∵BP平分∠ABC,
∴∠CBP=∠ABC,
∵CP平分△ABC的外角,
∴∠DCP=∠ACD=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC,
在△BCP中,由三角形的外角性質(zhì),∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P,
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠P,
∴∠P=∠A=×70°=35°.
感知:由(1)知∠P=∠A
∵∠BAC=m°,
∴∠P=m°,
故答案為:m°,
探究:延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于A.
∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-(180°-α)-(180°-β)=α+β-180°,
由(1)可知:∠P=∠A,
∴∠P=(α+β)-90°;
故答案為:α+β-180°,(α+β)-90°;
[拓展] 如圖③,延長(zhǎng)MB交NC的延長(zhǎng)線于A.
∵∠A=180°-α-β,∠P=∠A,
∴∠P=(180°-α-β)=90°-α-β
故答案為:90°-α-β
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E,AE=EC,DE=EF,則下列說法中:①∠ADE=∠EFC;②∠ADE+∠ECF+∠FEC=180°;③∠B+∠BCF=180°;④S△ABC=S四邊形DBCF.正確的有( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】教科書中這樣寫道:“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”,如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式,我們常做如下變形:先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)使式子中出現(xiàn)完全平方式,再減去這個(gè)項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法,不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式,還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求化數(shù)式最大值.最小值等.
例如:分解因式
;例如求代數(shù)式的最小值..可知當(dāng)時(shí),有最小值,最小值是,根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題:
(1)分解因式: _____
(2)當(dāng)為何值時(shí),多項(xiàng)式有最小值,并求出這個(gè)最小值.
(3)當(dāng)為何值時(shí).多項(xiàng)式有最小值并求出這個(gè)最小值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(知識(shí)鏈接)斐波那契(約 1170﹣1250,意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列是按某種規(guī)律排列的一列數(shù),他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個(gè)正整數(shù)都可以用無(wú)理數(shù)的形式表示,如第 n(n 為正整數(shù))個(gè)數(shù) an 可表示為.
(知識(shí)運(yùn)用)計(jì)算第一個(gè)數(shù) a1 和第二個(gè)數(shù) a2;
(探究證明)證明連續(xù)三個(gè)數(shù)之間 an﹣1,an,an+1 存在以下關(guān)系:an+1﹣an=an﹣1(n≥2).
(探究拓展)根據(jù)上面的關(guān)系,請(qǐng)寫出斐波那契數(shù)列中的前 8 個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)你用學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時(shí)積累的經(jīng)驗(yàn)和方法研究函數(shù)的圖象和性質(zhì),并解決問題.
完成下列步驟,畫出函數(shù)的圖象;
列表、填空;
x | 0 | 1 | 2 | 3 | |||||
y | 3 | ______ | 1 | ______ | 1 | 2 | 3 |
描點(diǎn):
連線
觀察圖象,當(dāng)x______時(shí),y隨x的增大而增大;
結(jié)合圖象,不等式的解集為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖△ABC中,分別延長(zhǎng)邊AB、BC、CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面積為1,則△DEF的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:線段AB的端點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,現(xiàn)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC.
(1)請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)在所給的網(wǎng)格中畫出線段AC及點(diǎn)B經(jīng)過的路徑;
(2)若將此網(wǎng)格放在一平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為;
(3)線段AB在旋轉(zhuǎn)到線段AC的過程中,線段AB掃過區(qū)域的面積為
(4)若有一張與(3)中所說的區(qū)域形狀相同的紙片,將它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,則該圓錐底面圓的半徑長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是單位1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題:
(1)將△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,畫出兩次平移后的△A1B1C1;
(2)寫出A1、C1的坐標(biāo);
(3)將△A1B1C1繞C1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C1 , 求△A1B1C1旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.
其中正確的有( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
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