Question

已知A為拋物線的頂點(diǎn)，B為該拋物線與y軸的交點(diǎn)，C為x軸上一點(diǎn)．設(shè)線段BC、AC、AB的長(zhǎng)度分別為a、b、c，當(dāng)a+c=2b時(shí)，求：
（1）經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）三角形ABC的面積．

Answer 1

解：（1）∵=（x-1）²，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），
∵B為該拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴x=0時(shí)，y=，即B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），
當(dāng)C點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，0），
則AC=x-1，AB==2，BC=，
∵a+c=2b，
∴2（x-1）=2+，
整理得出：3x²-16x+13=0，
解得：x₁=，x₂=1（此時(shí)A，C重合不合題意舍去），
如圖所示：
當(dāng)C′點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)，設(shè)C′點(diǎn)坐標(biāo)為：（z，0），
則AC′=1-z，AB==2，BC′=，
∵a+c=2b，
∴2（1-z）=2+，
整理得出：3z²=3，
解得：x₁=-1，x₂=1（此時(shí)A，C重合不合題意舍去），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0）或（，0），
∴當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），
C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0），
帶入解析式y(tǒng)=kx+b，
，
解得：，
∴經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式為：y=x+，
∴當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），
C點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0），
帶入解析式y(tǒng)=ax+c，

解得：，
∴經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式為：y=-x+；

（2）∵當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0）時(shí)，
∴AC′=2，∴S_△ABC=BO×AC′=×2×=，
當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）時(shí)，
∴AC=-1=，
∴S_△ABC=BO×AC=××=．
分析：（1）首先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而假設(shè)出C點(diǎn)位置，利用C點(diǎn)可能在A點(diǎn)右側(cè)或左側(cè)分別求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)（1）中所求得出三角形ABC的面積即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)分類(lèi)討論的思想得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．