Question

如圖1，一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子的棱長(zhǎng)為30厘米，頂點(diǎn)C₁處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）
（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C₁處?kù)o止不動(dòng)，如圖1，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BB₁的中點(diǎn)E，再連接AE、EC₁．昆蟲乙如果沿路徑A→E→C_l爬行，那么可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲．仔細(xì)體會(huì)其中的道理，并在圖①中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲（請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法）．
（2）如圖2，假設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C₁以a厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿C₁C向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從頂點(diǎn)A以2.5厘米/秒的速度在盒內(nèi)壁沿A→F→G爬行，恰好在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到昆蟲甲．若最短時(shí)間為20秒，請(qǐng)你求出a的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)相鄰兩個(gè)面放在同一平面內(nèi)時(shí)，過(guò)AC₁的線段必過(guò)公共棱的中點(diǎn)，按此方法，可找棱A₁B₁的中點(diǎn)M，然后連接AM、MC₁；
（2）聯(lián)系（1）中的方法，畫出平面圖形，利用勾股定理求得兩點(diǎn)間的最短路線，進(jìn)而求解a的值．

解答：解：（1）取棱A₁B₁的中點(diǎn)M，然后連接AM、MC₁；

（2）平面展開圖如下：

由題意得：C₁G=20a，CG=30-20a，DG=DC+CG=30+30-20a=60-20a，AG=2.5厘米/秒×20秒=50cm，
在RT△ADG中，AD²+DG²=AG²，即30²+（60-20a）²=50²，
解得：a=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了最短路徑的問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決，注意平面展開圖的分析．