【題目】如圖1,在等邊三角形ABC中,CD為中線,點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng),將線段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在射線BC上,連接BQ,設(shè)∠DAQ=α

(0°<α<60°α≠30°).

(1)當(dāng)0°<α<30°時(shí),

①在圖1中依題意畫出圖形,并求∠BQE(用含α的式子表示);

②探究線段CE,ACCQ之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

(2)當(dāng)30°<α<60°時(shí),直接寫出線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①CE+AC=;(2)CE-AC=,理由見解析

【解析】(1) ①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的對(duì)稱性可得QA=QB,再由QB=QE可得;②延長CA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接QF,作QH⊥AC于點(diǎn)H,

1)當(dāng)α30°時(shí),由∠BQE=60°+2α可得QEC=120°+α,再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ACQ =30°,得到△QCF為等腰三角形,再利用解直角三角形即可得出結(jié)果;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系.

①畫出的圖形如圖9所示.

ABC為等邊三角形,

ABC=60°

CD為等邊三角形的中線,

Q為線段CD上的點(diǎn),

由等邊三角形的對(duì)稱性得QA=QB

DAQ=α,

ABQ=DAQ=α,∠QBE=60°-α

線段QE為線段QA繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得,

QE = QA

QB=QE

可得

證法一:如圖10,延長CA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接QF,作QHAC于點(diǎn)H

BQE=60°+2α,點(diǎn)EBC上,

QEC=BQE+QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α

點(diǎn)FCA的延長線上,∠DAQ=α,

QAF=BAF+DAQ=120°+α

QAF=QEC

又∵ AF =CEQA=QE,

QAF≌△QEC

QF=QC

QHAC于點(diǎn)H,

FH=CH,CF=2CH

在等邊三角形ABC中,CD為中線,

點(diǎn)QCD上,

ACQ==30°,

QCF為底角為30°的等腰三角形.

思路二:如圖11,延長CB到點(diǎn)G,使得BG=CE,連接QG,可得

QBG≌△QEC,QCG為底角為30°的等腰三角形,與證法一

同理可得

2)如圖12,當(dāng)30°α60°時(shí),

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(1)求mn的值;

(2)若直線k≠0)經(jīng)過點(diǎn)C,且與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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(備用圖)

1)求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積;

2)求直線的交點(diǎn)坐標(biāo);

3)在第一象限內(nèi),在直線上是否存在一點(diǎn),使得是等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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矩形(正方形)

,

分別在圖、圖、圖中,經(jīng)過平行四邊形紙片的任意一個(gè)頂點(diǎn)畫一條裁剪線,沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分,并把這兩部分重新拼成符合下列要求的幾何圖形.

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