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如圖,在平面直角坐標系中.四邊形OABC是平行四邊形.直線l經過O、C兩點.點A的坐標為(8,0),點B的坐標為(11,4),動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動,同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動,過點P作PM垂直于x軸,與折線O一C-B相交于點M.當P、Q兩點中有一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設點P、Q運動的時間為t秒(t>0).△MPQ的面積為S.
(1)點C的坐標為
 
,直線l的解析式為
 

(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式,并寫出相應的t的取值范圍.
(3)試求題(2)中當t為何值時,S的值最大,并求出S的最大值.
(4)隨著P、Q兩點的運動,當點M在線段CB上運動時,設PM的延長線與直線l相交于點N.試探究:當t為何值時,△QMN為等腰三角形?請直接寫出t的值.
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分析:(1)由平行四邊形的性質和點A、B的坐標便可求出C點坐標,將C點坐標代入正比例函數即可求得直線l的解析式;
(2)根據題意,得OP=t,AQ=2t,根據t的取值范圍不同分三種情況分別進行討論,得到三種S關于t的函數,解題時注意t的取值范圍;
(3)分別根據三種函數解析式求出當t為何值時,S最大,然后比較三個最大值,可知當t=
8
3
時,S有最大值,最大值為
128
9
;
(4)根據題意并細心觀察圖象,分兩種情況討論可知:當t=
60
13
時,△QMN為等腰三角形.
解答:解:(1)由題意知:點A的坐標為(8,0),點B的坐標為(11.4),
且OA=BC,故C點坐標為C(3,4),
設直線l的解析式為y=kx,
將C點坐標代入y=kx,
解得k=
4
3

∴直線l的解析式為y=
4
3
x;
故答案為:(3,4),y=
4
3
x;


(2)根據題意,得OP=t,AQ=2t.分三種情況討論:
①當0<t≤
5
2
時,如圖1,M點的坐標是(t,
4
3
t).
過點C作CD⊥x軸于D,過點Q作QE⊥x軸于E,可得△AEQ∽△ODC,
AQ
OC
=
AE
OD
=
QE
CD
,
2t
5
=
AE
3
=
QE
4

∴AE=
6t
5
,EQ=
8
5
t,
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∴Q點的坐標是(8+
6
5
t,
8
5
t),
∴PE=8+
6
5
t-t=8+
1
5
t,
∴S=
1
2
•MP•PE=
1
2
4
3
t•(8+
1
5
t)=
2
15
t2+
16
3
t,

②當
5
2
<t≤3時,如圖2,過點Q作QF⊥x軸于F,
∵BQ=2t-5,
∴OF=11-(2t-5)=16-2t,
∴Q點的坐標是(16-2t,4),
∴PF=16-2t-t=16-3t,
∴S=
1
2
•MP•PF=
1
2
4
3
t•(16-3t)=-2t2+
32
3
t,

③當點Q與點M相遇時,16-2t=t,解得t=
16
3

當3<t<
16
3
時,如圖3,MQ=16-2t-t=16-3t,MP=4.
S=
1
2
•MP•MQ=
1
2
•4•(16-3t)=-6t+32,
所以S=
2
15
t2+
16
3
t(0<t≤
5
2
)
-2t2+
32
3
t(
5
2
<t≤3)
-6t+32(3<t<
16
3
)
;

(3)①當0<t≤
5
2
時,S=
2
15
t2+
16
3
t=
2
15
(t+20)2-
160
3
,
∵a=
2
15
>0,拋物線開口向上,t=
5
2
時,最大值為
85
6
;
②當
5
2
<t≤3時,S=-2t2+
32
3
t=-2(t-
8
3
)2+
128
9

∵a=-2<0,拋物線開口向下.
∴當t=
8
3
時,S有最大值,最大值為
128
9

③當3<t<
16
3
時,S=-6t+32,
∵k=-6<0.
∴S隨t的增大而減�。�
又∵當t=3時,S=14.當t=
16
3
時,S=0.
∴0<S<14.
綜上所述,當t=
8
3
時,S有最大值,最大值為
128
9


(4)當M點在線段CB上運動時,點Q一定在線段CB上,
①點Q在點M右側,QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t,NM=NP-MP=
4
3
t-4
則有16-3t=
4
3
t-4 解得t=
60
13
;
②點Q在點M左側,QM=xM-xQ=3t-16,NM=NP-MP=
4
3
t-4
則有3t-16=
4
3
t-4 解得t=
36
5

但是,點Q的運動時間為(5+8)÷2=6.5秒,故將②舍去.
當t=
60
13
時,△QMN為等腰三角形.
點評:本題是二次函數的綜合題,其中涉及到的知識點有拋物線最大值的求法和動點問題等知識點,是各地中考的熱點和難點,解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用,同學們要加強訓練,屬于難題.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數y=
k
x
的解析式為(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結果).

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