Question

19．如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A長為半徑的⊙O與AD，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接CE并延長交BA的延長線于點G，且AE=DE，∠ACB=∠DCE
（1）求證：△AEG≌△DEC；
（2）判斷直線CG與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若CG=$\sqrt{6}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠BAD=90°，推出∠GAD=∠D，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）首先連接OE，由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可證得直線CE與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（3）首先易證得△CDE∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到求得DE的長，又由勾股定理即可求得AC的長，然后設(shè)OA為x，即可得方程（$\sqrt{3}$）²-x²=（$\sqrt{6}$-x）²，解此方程即可求得⊙O的半徑．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠D=∠BAD=90°，
∴∠GAD=90°，
∴∠GAD=∠D，
在△AEG與△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠D}\\{AE=DE}\\{∠GEA=∠DEC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DEC；

（2）直線CG與⊙O相切；
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，
∵OE為圓O半徑，
∴直線CG與⊙O相切；

（3）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}$
又CD=AB，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∵△AEG≌△DEC，
∴CE=GE，
∴EC=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$，
又AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$AB，
設(shè)OA=OE=為x，則（$\sqrt{3}$）²+x²=（$\sqrt{6}$-x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．