Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至CE，連接AE．

（1）連接ED，若CD=，AE=4，求AB的長；

（2）如圖2，若點F為AD的中點，連接EB、CF，求證：CF⊥EB．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）根據旋轉的性質，得出△BCD≌△ACE，進而得到AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，∠EAD=90°，再根據CD2+EC2=DE2=AE2+AD2，即可得到AD的長，進而得出AB的長；

（2）過C作CG⊥AB于G，則AG=BG，根據等腰直角三角形的性質，即可得到，再根據點F為AD的中點，即可得到，再根據，∠CGF=∠BAE=90°，即可判定△CGF∽△BAE，進而得到∠FCG=∠ABE，依據∠ABE+∠∠CFG=90°，可得CF⊥BE．

詳解：（1）如圖1，由旋轉可得：EC=DC=，∠ECD=90°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．

又∵AC=BC，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，∴∠EAD=90°．

∵CD2+EC2=DE2=AE2+AD2，∴AD==，∴AB=AD+DB=+4；

（2）如圖2，過C作CG⊥AB于G，則AG=AB．

∵∠ACB=90°，AC=BC，∴CG=AB，即．

∵點F為AD的中點，∴FA=AD，∴FG=AG﹣AF=AB﹣AD=（AB﹣AD）=BD，由（1）可得：BD=AE，∴FG=AE，即．

又∵∠CGF=∠BAE=90°，∴△CGF∽△BAE，∴∠FCG=∠ABE．

∵∠FCG+∠CFG=90°，∴∠ABE+∠∠CFG=90°，∴CF⊥BE．