Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0≤t≤5．

（1）AE＝________，EF＝__________

（2）若G，H分別是AB，DC中點(diǎn)，求證：四邊形EGFH是平行四邊形．（相遇時(shí)除外）

（3）在（2）條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EGFH為矩形．

Answer 1

【答案】（1）t， ；（2）詳見解析；（3）當(dāng)t為0.5秒或4.5時(shí)，四邊形EGFH為矩形

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)路程=速度×時(shí)間即可求出AE的長(zhǎng)度，而當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)， ；當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，即可求解；

（2）先通過SAS證明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，從而有，最后利用一組對(duì)邊平行且相等即可證明；

（3）利用矩形的性質(zhì)可知FG=EF,求出GH，用含t的代數(shù)式表示出EF,建立方程求解即可．

（1）

當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，

當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，

∴

故答案為：t，

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，

∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，

∵ G、H分別是AB、DC的中點(diǎn)，

∴AG＝BG，CH＝DH，

∴AG＝CH，

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

在△AFG與△CEH中，，

∴，

∴ GF＝HE，

∴四 邊 形 EGFH是平行四邊形．

（3）解：如圖所示，連接GH，

由（1）可知四邊形EGFH是平行四邊形

∵點(diǎn) G、H分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，

∴ GH＝BC＝4，

∴ 當(dāng) EF＝GH＝4時(shí)，四邊形EGFH是矩形，分兩種情況：

①當(dāng)0≤t≤2.5時(shí),AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，

解得：t＝0.5

②當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，

解得：t＝4.5

即：當(dāng)t為0.5秒或4.5時(shí)，四邊形EGFH為矩形