Question

【題目】如圖，已知A(－4，n)、B(3，4)是一次函數(shù)y1＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D(t，0)（0＜t＜3）作x軸的垂線，分別交雙曲線和直線y1＝kx＋b于P、Q兩點(diǎn)

(1) 直接寫(xiě)出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式

(2) 當(dāng)t為何值時(shí)，S△BPQ＝S△APQ

(3) 以PQ為邊在直線PQ的右側(cè)作正方形PQMN，試說(shuō)明：邊QM與雙曲線（x＞0）始終有交點(diǎn)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)解析式即可；
（2）△APQ與△BPQ有一條公共邊，根據(jù)同底的三角形的面積之比等于高之比，列出關(guān)于t的方程進(jìn)行求解；
（3）設(shè)直線QM與雙曲線交于C點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P、Q、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，用t的代數(shù)式表示出QM-QC，再根據(jù)t的取值范圍判斷代數(shù)式的值的符號(hào)即可．

試題解析：

（1）將B（3，4）代入，得m=3×4=12，

∴反比例函數(shù)解析式為，

將A（﹣4，n）代入反比例函數(shù)，得n=﹣3，

∴A（﹣4，﹣3）

∵直線y1=kx+b過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，

∴，解得，

∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；

（2）如圖1，∵PQ⊥x軸，

∴以PQ為底邊時(shí)，△APQ與△BPQ的面積之比等于PQ邊上的高之比，

又∵，

∴，

∵點(diǎn)D（t，0），A（﹣4，﹣3），B（3，4），

∴，即，

解得；

（3）如圖2，設(shè)直線QM與雙曲線交于C點(diǎn)．

依題意可知：P（t，），Q（t，t+1），C（，t+1），

∴QM=PQ=，QC=，

∴QM﹣QC==，

∵0＜t＜3，

∴0＜t（t+1）＜12，

∴＞1，

即QM﹣QC＞0，

∴QM＞QC，

即邊QM與雙曲線始終有交點(diǎn)．