已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，CE⊥AD，E為垂足，CE的延長線交AB于點F．求證：AC2=AB·AF．

 

答案：
解析：

證法一：連結(jié)BD、CＤ．如圖．

∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝∠ABD＝90°．

∵CE⊥AD于E，∴Rt△ACE∽Rt△ACＤ．

∴，即AC２=AE·AＤ．

在Rt△AEF和Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠BAD，

∴△AEF∽△ABD，∴，即AE·AD＝AF·AB．  ∴AC２＝AF·AB．

證法二：如圖7—64，延長CF交⊙O于G，連結(jié)AG、BG．

∵AD是⊙O的直徑，CG⊥AD，∴=．

∴AC＝AG，∠AGE＝∠GBA．

又∠FAG＝∠FAG．

∴△AGF∽△ABG．

∴，即AG２＝AF·AB，∴AC２＝AF·AB．

證法三：如圖7—65，延長CF交⊙O于G．

∵AD是⊙O的直徑，且CG⊥AD，

∴=．

∴∠B＝∠FCA．

又 ∠BAC＝∠FAC．

∴△ACF∽△ABC．

∴，即AC２＝AF·AB．

 


練習冊系列答案
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