Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點(diǎn)（DP＜CP），DP=1，AD=2，∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥MP交DC于點(diǎn)N．

（1）求線段PC之長(zhǎng)；

（2）求線段PN之長(zhǎng)；

（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點(diǎn)E，F．求線段EF之長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1） 4；（2） 2.5；（3）．

【解析】

（1）證明△ADP∽△PCB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

（2）先證四邊形PMBN是菱形，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC．由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，得到，從而可求出EF=AF﹣AEACAC，代入即可得出結(jié)論．

（1）∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠C=90°，∴∠DPA+∠DAP=90°．

∵∠APB=90°，∴∠DPA+∠CPB=90°，∴∠DAP=∠CPB，∴△ADP∽△PCB，∴．

∵AD=CB=2，∴，∴PC=4；

（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM．

∵∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM，即∠ABP=∠MPB，∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB．

∵BN∥MP，PN∥MB，∴四邊形PMBN是平行四邊形，∴四邊形PMBN是菱形．

設(shè)菱形邊長(zhǎng)為x，則PN=PM=MB=AM=x．

由折疊可知：PD'=PD=1，AD'=AD=2，∴D'M=x-1．

在Rt△AD'M中，∵，∴，解得：x=2.5，∴PN=2.5；

（3）∵PC=4，PN=2.5，∴NC=PC-PN=1.5．在Rt△ABC中，AC=．

∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴，∴，∴AF=AC．又易證：△PCE∽△MAE，∴，∴，∴AE=AC，∴EF=AF﹣AEACAC=．