【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE,交AC于點(diǎn)F.
(1)如圖①,當(dāng) 時(shí),求 的值;
(2)如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí),求證:AF= OA;
(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí),過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,求證:CG= BG.
【答案】
(1)
解:∵ ,
∴ .
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△CEF∽△ADF,
∴ ,
∴ = ,
∴ = = ;
(2)
證明:∵DE平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF,
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線.
∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°,OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,
∴∠ADF=∠AFD,∴AD=AF,
在直角△AOD中,根據(jù)勾股定理得:AD= = OA,
∴AF= OA
(3)
證明:連接OE.
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn).
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),
∴OE是△BCD的中位線,
∴OE∥CD,OE= CD,
∴△OFE∽△CFD.
∴ = = ,
∴ = .
又∵FG⊥BC,CD⊥BC,
∴FG∥CD,
∴△EGF∽△ECD,
∴ = = .
在直角△FGC中,∵∠GCF=45°.
∴CG=GF,
又∵CD=BC,
∴ = = ,
∴ = .
∴CG= BG.
【解析】(1)利用相似三角形的性質(zhì)求得EF與DF的比值,依據(jù)△CEF和△CDF同高,則面積的比就是EF與DF的比值,據(jù)此即可求解;(2)利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD,可以證得AD=AF,在直角△AOD中,利用勾股定理可以證得;(3)連接OE,易證OE是△BCD的中位線,然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形,易證△EGF∽△ECD,利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可證得.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方,以及對相似三角形的應(yīng)用的理解,了解測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,過點(diǎn)A作AH⊥EF,垂足為H.
(1)如圖2,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.
①求證:△AGE≌△AFE;
②若BE=2,DF=3,求AH的長.
(2)如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請?zhí)骄坎⒉孪耄壕段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于點(diǎn)R,PS⊥AC于點(diǎn)S,PR=PS,則下列結(jié)論:①點(diǎn)P在∠A的角平分線上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.正確的有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A.x2﹣2是二次二項(xiàng)式
B.單項(xiàng)式﹣x2的系數(shù)是1
C.使式子 有意義的x的取值范圍是x>﹣2
D.若分式 的值等于0,則a=±1
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,且AE= AB,將矩形沿直線EF折疊,點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處,連接BP交EF于點(diǎn)Q,對于下列結(jié)論:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是(填序號)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A、B、C、D均在以BC為直徑的圓上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四邊形ABCD的周長為10,則圖中陰影部分的面積為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且對稱軸為x=﹣2,點(diǎn)P(0,t)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)如圖1,當(dāng)0≤t≤4時(shí),設(shè)△PAD的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此時(shí)t的值.
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠PDA=90°時(shí),Rt△ADP與Rt△AOC是否相似?若相似,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不相似,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,∠ACD=∠ABC.
(1)求證:CA是圓的切線;
(2)若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),已知BE=6,tan∠ABC= ,tan∠AEC= ,求圓的直徑.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com