Question

11．將拋物線y=x²+2x-4向左平移2個單位，又向上平移3個單位，最后繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°．
①求變換后新拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
②若這個新拋物線的頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)恰為x的整系數(shù)方程x²-（4m+n）x+3m²-2n=0的兩根．求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）用頂點(diǎn)公式或者配方的辦法，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，寫出平移后的拋物線的解析式，拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，改變的只是開口方向，寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式．
（2）首先求出新拋物線的解析式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到關(guān)于m、n的方程組，求出m、n的值．

解答 （1）解：∵y=x²+2x-4=（x+1）²-5，
∴拋物線y=x²+2x-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-5），
因拋物線y=x²+2x-4向左平移2個單位，又向上平移3個單位，
所以其平移后的函數(shù)解析式為y=（x+1+2）²-5+3=（x+3）²-2．
拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的函數(shù)解析式為y=-（x+3）²-2．
（2）解：∵拋物線y=-（x+3）²-2的頂點(diǎn)為（-3，-2），
由于拋物線的頂點(diǎn)橫縱坐標(biāo)恰為x的整系數(shù)方程x²-（4m+n）x+3m²-2n=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=-5}\\{3{m}^{2}-2n=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{1}=\frac{2}{3}}\\{{n}_{1}=-\frac{23}{3}}\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=-2}\\{{n}_{2}=3}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、平移規(guī)律、旋轉(zhuǎn)規(guī)律，考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解法．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)可用配方法，也可以用公式：x=-$\frac{2a}，y=\frac{4ac-^{2}}{4a}$；
（2）拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．即拋物線寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）²+k以后，拋物線向左或右平移，在括號內(nèi)加減，向上或下平移，在k后加或減．
（3）若一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{2a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．