Question

12．如圖，正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD邊上的點，且△AEF是等邊三角形，若BE=1cm，則正方形ABCD的邊長是2+$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 在AB上取一點M使得AM=ME，先證明△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF=15°，再在RT△BME中求出EM、EB即可解決問題．

解答 解：如圖，在AB上取一點M使得AM=ME，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
在RT△ABE和RT△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=15°，
∵AM=ME，
∴∠MAE=∠MEA=15°，
∴∠EMB=30°，
在RT△EMB中，∵∠B=90°，BE=1，∠EMB=30°，
∴AM=ME=2BE=2，BM=$\sqrt{3}$，
∴AB=AM+BM=2+$\sqrt{3}$．
故答案為2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造30度的直角三角形，學(xué)會出現(xiàn)15度角想到這個添加輔助線方法，屬于中考�？碱}型．