Question

如圖，在菱形ABCD內(nèi)作一個(gè)等邊△AEF，AE=AB．
（1）∠BAE與∠DAF是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)∠BAE=x°，試用含x的式子表示∠B和∠C的大小；
（3）求∠CEF的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由菱形的性質(zhì)可得AB=AE=AF=AD，可得∠B=∠AEB=∠D=∠AFD，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得∠BAE=∠DAF；
（2）由（1）的結(jié)論可表示出∠BAD，再根據(jù)菱形的對(duì)邊平行，結(jié)合平行線的性質(zhì)可表示出∠B和∠C；
（3）在△ABE中結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得x的值，則可求得∠CEF．

解答：解：（1）相等，理由如下：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=AF，且AE=AB，
∴AB=AE=AF=AD，
∴∠B=∠AEB=∠D=∠AFD，
∴∠BAE=∠DAF；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAF=x°，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=60°+2x°，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-（60°+2x°）=120°-2x°，
∠C=∠BAD=60°+2x°；
（3）在△ABE中，AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠B=

1

2

（180°-x°）=90°-

1

2

x°，
又由（2）可得∠B=120°-2x°，
∴90°-

1

2

x°=120°-2x°，解得x=20
∴∠AEB=∠B=80°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-80°-60°=40°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，掌握菱形的對(duì)邊平行、鄰邊相等及等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵，注意方程思想和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．