已知下面著名的“勾股定理”:在一個直角三角形中,兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方.
試問:是否存在同時滿足下列兩個條件的直角三角形?
(1)三條邊長均是正整數(shù);
(2)一條直角邊為素數(shù)(也稱質數(shù))p.若存在,請求出另一條直角邊長;若不存在,請說明理由.

解:假設存在,令另一條直角邊長為x,斜邊長為y,則x、y為正整數(shù).
由勾股定理得p2+x2=y2
化為(y+x)(y-x)=p2
因為p為素數(shù)(也稱質數(shù)),且y+x>y-x,
所以只有
從而
若p=2,則x、y不是整數(shù),這樣的三角形不存在;
若p為奇素數(shù),x、y都是整數(shù),這樣的三角形存在.
綜上所述,可知:p為偶素數(shù)2時,滿足條件的三角形不存在;p為奇素數(shù)時,滿足條件的三角形存在,且另一條直角邊長為
分析:首先假設存在,設另一條直角邊長為x,斜邊長為y,則x、y為正整數(shù),然后根據(jù)題意可得:p2+x2=y2,即可得:(y+x)(y-x)=p2,又由p為素數(shù),討論分析即可求得.
點評:此題考查了素數(shù)的意義和勾股定理等知識.難度較大,要注意分類討論思想的應用.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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