Question

已知下面著名的“勾股定理”：在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方．
試問(wèn)：是否存在同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的直角三角形？
（1）三條邊長(zhǎng)均是正整數(shù)；
（2）一條直角邊為素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)）p．若存在，請(qǐng)求出另一條直角邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：首先假設(shè)存在，設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)為x，斜邊長(zhǎng)為y，則x、y為正整數(shù)，然后根據(jù)題意可得：p²+x²=y²，即可得：（y+x）（y-x）=p²，又由p為素?cái)?shù)，討論分析即可求得．

解答：解：假設(shè)存在，令另一條直角邊長(zhǎng)為x，斜邊長(zhǎng)為y，則x、y為正整數(shù)．
由勾股定理得p²+x²=y²．
化為（y+x）（y-x）=p²．
因?yàn)閜為素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)），且y+x＞y-x，
所以只有

y+x=p2 y-x=1.

從而x=

p2-1

2

，y=

p2+1

2

．
若p=2，則x、y不是整數(shù)，這樣的三角形不存在；
若p為奇素?cái)?shù)，x、y都是整數(shù)，這樣的三角形存在．
綜上所述，可知：p為偶素?cái)?shù)2時(shí)，滿足條件的三角形不存在；p為奇素?cái)?shù)時(shí)，滿足條件的三角形存在，且另一條直角邊長(zhǎng)為

p2-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了素?cái)?shù)的意義和勾股定理等知識(shí)．難度較大，要注意分類討論思想的應(yīng)用．