Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三點(diǎn)．

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)點(diǎn)P為(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，分兩種情況討論計(jì)算即可.

解：(1)∵該拋物線過點(diǎn)C(0，－2)，

∴可設(shè)該拋物線的解析式為y＝ax2＋bx－2.

將A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，

∴此拋物線的解析式為.

(2)存在，

設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－m2＋m－2，

當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，

∴①當(dāng)＝＝時(shí)，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．

解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．

�、诋�(dāng)＝＝時(shí)，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.

解得m1＝4，m2＝5(均不合題意，舍去)，∴當(dāng)1＜m＜4時(shí)，P(2，1)．

類似地可求出當(dāng)m＞4時(shí)，P(5，－2)．

當(dāng)m＜1時(shí)，P(－3，－14)或P(0，－2)，

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).