Question

20．如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．
（1）求證：四邊形ADPO是菱形；
（2）求證：△CDP≌△POB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理得出DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB，再由OA=OB可知DP=OA，故四邊形AOPD是平行四邊形，根據(jù)OP=OA可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)得到DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB，由SAS可證△CDP≌△POB．

解答 （1）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，
∴DP是△ABC的中位線，
∴DP∥AB，DP=$\frac{1}{2}$AB．
∵OA=OB，
∴DP=OA，
故四邊形AOPD是平行四邊形．
∵OP=OA，
∴四邊形ADPO是菱形；

（2）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，
∴DP∥AB，
∴DP=$\frac{1}{2}$AB，∠CPD=∠PBO，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴DP=BO，
在△CDP與△POB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}DP=BO\\∠CPD=∠PBO\\ PC=PB\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△POB（SAS）．

點評 本題考查的是圓周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關鍵是SAS證明△CDP≌△POB．