如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的對稱中心,MN交AB于F,QM交AD于E.
(1)猜想:ME與MF的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,若將原題中的“正方形”改為“菱形”,且∠M=∠B,其它條件不變,探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)如圖3,若將原題中的“正方形”改為“矩形”,且AB:BC=1:2,其它條件不變,探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(4)如圖4,若將原題中的“正方形”改為平行四邊形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它條件不變,求出ME:MF的值.(直接寫出答案)
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分析:本題是變式拓展題,正方形,菱形的共同特點是:其對稱中心到各邊的距離相等,可考慮作兩邊的垂線,構(gòu)造全等三角形,再對應(yīng)三角形全等條件求解.而矩形的對稱中心到兩邊距離之比等于其邊長之比,方法類似,用相似三角形來解.
解答:解:(1)ME=MF.

(2)ME=MF.
證明:過點M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G,連接AM.
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∵M(jìn)是菱形ABCD的對稱中心,
∴O是菱形ABCD對角線的交點,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG.
∵∠M=∠B
,∴∠M+∠BAD=180°.
又∠MHA=∠MGF=90°,
∴∠HMG+∠BAD=180°.
∴∠EMF=∠HMG.
∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE≌△MGF,
∴ME=MF.
(3)ME:MF=1:2
證明:過點M作MH⊥AD于H,MG⊥AB于G.
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∵∠M=∠B,∴∠A=∠EMF=90°.
又∵∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠HMG=90°.
∴∠EMF=∠HMG,∴∠EMH=∠FMG.
∵∠MHE=∠MGF,
∴△MHE∽△MGF,
ME
MF
=
MH
MG

又∵M(jìn)是矩形ABCD的對稱中心,
∴M是矩形ABCD對角線的中點.
又∵M(jìn)G⊥AB,
∴MG∥BC,
∴MG=
1
2
BC.
同理可得MH=
1
2
AB.
∴ME:MF=1:2.

(4)ME:MF=m.
點評:本題綜合考查全等三角形、相似三角形和四邊形的有關(guān)知識.注意對三角形全等,相似的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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21、如圖,在正方形網(wǎng)格上的一個△ABC.(其中點A、B、C均在網(wǎng)格上)
(1)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形;
(2)以P點為一個頂點作一個與△ABC全等的三角形(規(guī)定點P與點B對應(yīng),另兩頂點都在圖中網(wǎng)格交點處).

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如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
(1)當(dāng)點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)

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如圖,以Rt△ABC的斜邊和一直角邊為邊長向外作正方形,面積分別為169和25,則另一直角邊的長度BC為( 。

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如圖,在正方形網(wǎng)格上有一個△ABC.
(1)利用網(wǎng)格畫出AC邊上的中線BD(不寫畫法,寫出結(jié)論,下同);
(2)利用網(wǎng)格畫出△ABC邊BC上的高;
(3)用直尺和圓規(guī)在右邊方框中作一個△A′B′C′與△ABC全等.

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