Question

【題目】我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱(chēng)為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A，B，∠OAB=30°，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（ ）

A.6
B.8
C.10
D.12

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B，

∴B（0，4 ），

∴OB=4 ，

在RT△AOB中，∠OAB=30°，

∴OA= OB= × =12，

∵⊙P與l相切，設(shè)切點(diǎn)為M，連接PM，則PM⊥AB，

∴PM= PA，

設(shè)P（x，0），

∴PA=12﹣x，

∴⊙P的半徑PM= PA=6﹣ x，

∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)，

∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個(gè)數(shù)，

∴使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6．

故答案為：A．

根據(jù)直線AB的解析式求得OB的長(zhǎng)，進(jìn)而就可求得OA的長(zhǎng)，根據(jù)切線的性質(zhì)求得PM⊥AB，根據(jù)∠OAB=30°，求得PM與PA的數(shù)量關(guān)系， 然后根據(jù)“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P個(gè)數(shù)．