Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，O為BC的中點，動點E、F分別在邊AB、AC上，且∠EOF=45°．
（1）猜想線段AE、EF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，若以O為圓心的圓與AB相切，試探究直線EF與⊙O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）AE+EF=CF．
連接OA，在CF上取點G，使CG=AE，
∵AB=AC，∠A=90°，O為BC的中點，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAE=∠OCG=45°，
∴△AOE≌△COG（SAS），
∴OE=OG，∠A0E=∠COG，
∵∠EOF=45°，
∴∠FOG=45°，
∴∠EOF=∠FOG，
∴△FOE≌△FOG（SAS），
∴EF=FG，
∴AE+EF=CF．

（2）EF與⊙O相切．
在△OEB和△FOC中，∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB．
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC．
∴．
∵△OEB∽△FOC，
∴．
∴．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF．
∴∠BEO=∠OEF．
∴點O到AB和EF的距離相等．
∵AB與⊙O相切，
∴點O到EF的距離等于⊙O的半徑．
∴EF與⊙O相切．
分析：（1）可得出結論AE+EF=CF．連接OA，在CF上取點G，使CG=AE，可證△AOE≌△COG，△FOE≌△FOG，就可證出．
（2）由題意可證明△OEB∽△FOC，△OEB∽△FOC，則得出點O到AB和EF的距離相等，即可得出結論．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及切線的性質，是一道綜合題，難度偏大．