Question

有一個三位數(shù)等于它的各位數(shù)字和的42倍，這個三位數(shù)是？

Answer 1

【答案】分析：設(shè)這個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字分別為A、B、C，先根據(jù)這個三位數(shù)等于它的各位數(shù)字和的42倍，列出方程100A+10B+C=42（A+B+C），由42是3的倍數(shù)，可知這個三位數(shù)（100A+10B+C）是3的倍數(shù)，根據(jù)能被3整除的數(shù)：各個數(shù)位上的數(shù)字和能被3整除，得出（A+B+C）是3的倍數(shù)，則方程右邊是9的倍數(shù)，所以這個三位數(shù)（100A+10B+C）是9的倍數(shù)，再根據(jù)能被9整除的數(shù)：各個數(shù)位上的數(shù)字和能被9整除，得出（A+B+C）是9的倍數(shù)，則方程右邊是27的倍數(shù)，所以這個三位數(shù)（100A+10B+C）是27的倍數(shù)，又100A+10B+C=3×2×7（A+B+C），則這個三位數(shù)（100A+10B+C）是27×7×2=378的倍數(shù)，而三位數(shù)中是378的倍數(shù)的數(shù)只有2個，經(jīng)過檢驗，即可得出結(jié)果．
解答：解：設(shè)這個三位數(shù)的百位，十位，個位上的數(shù)字分別為A、B、C，由題意得：
100A+10B+C=42（A+B+C）．
∵42是3的倍數(shù)，即100A+10B+C=3×2×7（A+B+C），
∴這個三位數(shù)（100A+10B+C）是3的倍數(shù)，
∴（A+B+C）是3的倍數(shù)，
∴這個三位數(shù)（100A+10B+C）是9的倍數(shù)，
∴（A+B+C）是9的倍數(shù)．
∴這個三位數(shù)（100A+10B+C）是27的倍數(shù)．
則這個三位數(shù)（100A+10B+C）是27×7×2=378的倍數(shù)，
而三位數(shù)中是378的倍數(shù)的數(shù)只有2個，即為378，756．
∵42×（3+7+8）=756≠378，
∴這個三位數(shù)不是378；
∵42×（7+5+6）=756，
∴這個三位數(shù)是756．
答：這個三位數(shù)是756．
點評：本題考查了數(shù)的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據(jù)題意列出方程，然后根據(jù)能被3、9整除的數(shù)的特征得出這個三位數(shù)是27的倍數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．