Question

6．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O為AC的中點(diǎn)，AD為高，OG⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E，過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，求證：DF=HE．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到AB=AO=OC，推出∠BAC+∠AOG=180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠G=∠BAD，根據(jù)垂直的定義得到∠BDA=∠BAC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠C=∠BAD，證得∠C=∠G，求得∠BFA=∠OEC，推出△ABF≌△COE（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=OE，推出△BDF≌△OHE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵AC=2AB．O為AC的中點(diǎn)，
∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，
∴∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，
∴AB∥OG，
∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ECO}\\{∠AFB=∠CEO}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴BF=OE，
∵∠BFA=∠OEC，
∴∠BFD=∠OEH，
在△BDF與△OEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠OEH}\\{∠BDF=∠OHE}\\{BF=OE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△OHE，
∴DF=HE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角性質(zhì)，垂直定義，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．