Question

【題目】如圖，B為線段AD上一點，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長，交AD的延長線于F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點M．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）求證：AC2=CMCF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接OB，只要證明∠OBE=90°即可求解；

（2）連接MB，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得證．

試題解析：（1）連結(jié)OB，

∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，

∴∠ABC=∠EBD=60°，

∴∠CBE=60°，∠OBC=30°，

∴∠OBE=90°，

∴BE是⊙O的切線；

（2）連結(jié)MB，則∠CMB=180°-∠A=120°

∵∠CBF=60°+60°=120°

∴∠CMB=∠CBF

∵∠BCM=∠FCB

∴△CMB∽△CBF

∴，即CB2=CMCF，

∵AC=CB

∴AC2=CMCF．