Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，sin∠B=

3

5

，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），作∠AEF=∠AEB，使邊EF交邊CD與點(diǎn)F（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)BE=x，CF=y．
（1）求邊BC的長：
（2）當(dāng)△ABE與△CEF相似時(shí)，求BE的長：
（3）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得AD=MN； BM=CN；AB=DC=5，根據(jù)勾股定理，可得BM的長，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（2）分類討論，當(dāng)∠AEB=∠FEC時(shí)，根據(jù)正切函數(shù)，可得ME的長，根據(jù)線段的和差，可得答案，當(dāng)∠AEB=∠EFC時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得BM與ME的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得函數(shù)解析式，根據(jù)線段的和差，可得定義域．

解答：解：（1）如圖：過A作AM⊥BC，過D作DN⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，sin∠B=

3

5

，
∴AD=MN； BM=CN；AB=DC=5；∠B=∠C，
∴AM=AB•sin∠B=5×

3

5

=3
∴BM=CN=

AB2-AM2

=

52-32

=4
∴BC=BM+MN+CN=AD+2BM=2+2×4=10；

（2）△ABE與△CEF相似有兩種情況，如圖：



①當(dāng)∠AEB=∠FEC時(shí)
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
過A作AM⊥BC
由（1）知：AM=3，BM=4
∴ME=AM•tan60°=3×

3

3

=

3

∴BE=BM+ME=4+

3

，
②當(dāng)∠AEB=∠EFC時(shí)
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠EFC
∴AE∥DC
∴∠AEB=∠C=∠B
△ABE是等腰三角形
過A 作AM⊥BC
∴BM=ME（等腰三角形三線合一性質(zhì)）
∵BM=4
∴BE=2BM=8
綜上，當(dāng)△ABE∽△CEF時(shí)，BE的長為4+

3

或8；
（3）當(dāng)∠AEB=∠FEC時(shí)，△AEB∽△FEC，

y

5

=

10-x

x

，
即y=

50

x

-5（4+

3

＜x＜10）
當(dāng)∠AEB=∠EFC時(shí)，△AEB∽△EFC

y

x

=

10-x

5

即y=-

1

5

x²+2x  （8＜x＜10）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．