Question

9．如圖1，一次函數(shù)y=kx+b的圖象交x軸、y軸分別于B、A兩點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}（x＜0）$的圖象過線段AB的中點(diǎn)C（-2，$\frac{3}{2}$）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖2，在反比例函數(shù)上存在異于C點(diǎn)的一動點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，在y軸上存在點(diǎn)P，使得S_△ACP=2S_△MNO，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）可先根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求得OA的值，得出A的坐標(biāo)，把A，C兩點(diǎn)分別代入y=kx+b根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）設(shè)P（0，y），則AP=|y-3|．根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和已知條件求得S_△ACP=3，然后根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于y的方程，解方程即可求得y的值．

解答 解：（1）如圖1，∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}（x＜0）$的圖象過點(diǎn)C（-2，$\frac{3}{2}$），
∴k=（-2）×$\frac{3}{2}$=-3，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{3}{x}$； 
過點(diǎn)C作CD⊥OB，則CD=$\frac{3}{2}$．
∵CD∥AO，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{CD}{AO}$，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{OA}$，解得：OA=3，
∴A（0，3）．
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)C（-2，$\frac{3}{2}$），A（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=$\frac{3}{4}$x+3．
（2）如圖2，設(shè)P（0，y），AP=|y-3|．
∵S_△MNO=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ACP=2S_△MNO=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴$\frac{1}{2}$×AP×|x_c|=3，即：$\frac{1}{2}$×|y-3|×2=3；
解得：y=6或y=0．
∴P（0，6）或P（0，0）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例定理，三角形的面積等，求得A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．