Question

17．如圖，已知一次函數(shù)y=-x+2$\sqrt{2}$的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PM，切點(diǎn)為M，則PM的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)OM、OP，作OH⊥AB于H，如圖，先利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，則可判斷△OAB為等腰直角三角形，從而得到OH=$\frac{1}{2}$AB=2，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OM⊥PM，利用勾股定理得到PM=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，則可判斷OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PM的長(zhǎng)最小，然后利用垂線段最短得到OP的最小值，再計(jì)算PM的最小值．

解答 解：連結(jié)OM、OP，作OH⊥AB于H，如圖，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，則A（0，2$\sqrt{2}$），
當(dāng)y=0時(shí)，-x+2$\sqrt{2}$=0，解得x=2$\sqrt{2}$，則B（2$\sqrt{2}$，0），
所以△OAB為等腰直角三角形，則AB=$\sqrt{2}$OA=4，OH=$\frac{1}{2}$AB=2，
因?yàn)镻M為切線，
所以O(shè)M⊥PM，
所以PM=$\sqrt{O{P}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，
當(dāng)OP的長(zhǎng)最小時(shí)，PM的長(zhǎng)最小，而OP=OH=2時(shí)，OP的長(zhǎng)最小，
所以PM的最小值為$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是用OP、OM表示PM，利用OP的最小值計(jì)算PM的最小值．