Question

如圖，將△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使B、C在X軸正半軸上，若AB=AC．且A點坐標(biāo)為（3，2），B點坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求邊AC所在直線的解析式；
（2）若坐標(biāo)平面內(nèi)存在三角形與△ABC全等且有一條公共邊，請寫出這些三角形未知頂點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）設(shè)C點的坐標(biāo)為（x，0）．
∵AB=AC，
∴點A在BC的垂直平分線上，
又∵A點坐標(biāo)為（3，2），B點坐標(biāo)為（1，0），
∴=3，
∴x=5，即C點的坐標(biāo)為（5，0）．
設(shè)邊AC所在直線的解析式為y=kx+b，則，
解得．
故邊AC所在直線的解析式y(tǒng)=-x+5；

（2）∵A點坐標(biāo)為（3，2），B點坐標(biāo)為（1，0），C點的坐標(biāo)為（5，0），
∴AB=AC=2，BC=4，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為等腰直角三角形．
如圖所示，符合要求的點有：
C₁（-1，2），C₂（1，4），C₃（5，4），C₄（7，2），C₅（3，-2）．
分析：（1）先根據(jù)AB=AC求出C點的坐標(biāo)，再將A、C兩點的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出邊AC所在直線的解析式；
（2）已知A，B，C的坐標(biāo)易知△ABC為等腰直角三角形，所求的三角形與△ABC全等且有一條公共邊，分別考慮AB，AC，BC為公共邊三種情況．
點評：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形全等的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．注意（2）中應(yīng)分幾種情況討論，討論時要做到不重不漏．