Question

【題目】圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，直線y=2x+b（b≠0）與雙曲線在第一、三象限分別相交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求k的值；（2）當(dāng)b=-3時，求△OCD的面積；

（3）連接OQ，是否存在實(shí)數(shù)b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，請求出b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=4； （2）S△OCD=； （3）存在，b的值為﹣2．

【解析】

（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得；

（2）當(dāng)時，直線解析式為，則利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出，，然后根據(jù)三角形面積公式求解；

（3）先表示出，根據(jù)三角形面積公式，由于，所以點(diǎn)和點(diǎn)到的距離相等，則的橫坐標(biāo)為，利用直線解析式可得到，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，然后解方程即可得到滿足條件的的值.

（1）∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），

∴k=1×4=4；

（2）當(dāng)b=﹣3時，直線解析式為y=2x﹣3，

∴C（，0），D（0，﹣3），

∴S△OCD=；

（3）存在．

在直線y=2x+b上，

當(dāng)y=0時，2x+b=0，解得x=，則C（，0）.

∵S△ODQ=S△OCD，

∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等.

∵點(diǎn)Q在第三象限，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.

當(dāng)x=時，y=2x+b=2b，則Q（，2b）.

∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴2b=4，解得b=﹣2或b=2（舍去），

∴b的值為﹣2．