Question

如圖，在以點O為原點的直角坐標系中，一次函數(shù)y=﹣x+1的圖象與x軸交于A，與y軸交于點B，點C在第二象限內且為直線AB上一點，OC=AB，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C，則k的值為　　　　　　．

Answer 1

﹣　．

 

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．

【分析】首先求出點A、B的坐標，然后由勾股定理求得AB，設∠BAO=θ，則sinθ=，cosθ=，過點O作RT△AOB斜邊上的高OE，斜邊上的中線OF，通過解直角三角形求得AE=OA•cosθ=2×=，根據(jù)三角形中線的性質求得OF=AB，從而求得OC=OF=，進而求得AC=AE+EC=+=．過點C作CG⊥x軸于點G，則CG=AC•sinθ=×=，AG=AC•cosθ=×=，從而求得C的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．

【解答】解：如圖，在y=﹣x+1中，令y=0，則x=2；令x=0，得y=1，

∴A（2，0），B（0，1）．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=．

設∠BAO=θ，則sinθ=，cosθ=．

過點O作RT△AOB斜邊上的高OE，斜邊上的中線OF，則AE=OA•cosθ=2×=，OF=AB，

∵OC=AB，

∴OC=OF=，

∴EF=AE﹣AF=﹣=．

∵OC=OF，OE⊥CF，

∴EC=EF=，

∴AC=AE+EC=+=．

過點C作CG⊥x軸于點G，則CG=AC•sinθ=×=，

AG=AC•cosθ=×=，

∴OG=AG﹣OA=﹣2=．

∴C（﹣，）．

∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C，

∴k=﹣×=﹣，

故答案為﹣．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，其知識點：勾股定理的應用，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質，待定系數(shù)法求解析式等．