Question

如圖，將一個小球從斜坡OA的O點處拋出，落在斜坡的A點處．小球的拋出路線是拋物線的一段，它的對稱軸l分別與OA，x軸相交于點B，C，頂點P的橫坐標是4．斜坡OA的坡角為α，tanα=

1

2

，OA=

7 5

2

．
（1）求點A的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）N，N′是拋物線上兩點，它們關于對稱軸l對稱，若過P，N，N′三點的⊙M與射線OA相切，求⊙M的半徑．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）首先作AD⊥x軸于D，可得出AD=m，則OD=2m，進而利用勾股定理得出m的值，即可得出A點坐標；
（2）利用頂點式得出拋物線的解析式是y=a（x-4）²+b，進而將O點，A點代入求出拋物線解析式即可；
（3）根據題意得出M點位置，進而利用△COB∽△EMB，求出⊙M的半徑．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于D．
∵tanα=

1

2

，
∴可設AD=m，則OD=2m．          
根據勾股定理，DO²+AD²=AO²，
得m2+(2m)2=(

7 5

2

)2．
解，得m=±

7

2

，負值舍去，m=

7

2

．
∴點A的坐標是（7，

7

2

）；
         
（2）設拋物線的解析式是y=a（x-4）²+b．
將（0，0）和（7，

7

2

）代入上式，得：

0=a(0-4)2+b 7 2 =a(7-4)2+b

．           
解得：

a=- 1 2 b=8

，
∴拋物線的解析式是：
y=-

1

2

(x-4)2+8，
=-

1

2

x2+4x．

（3）∵N、N′關于對稱軸l對稱，
∴圓心M在對稱軸l上，
作ME⊥AO于E，
∵⊙M與射線AO相切，
∴MP=ME，
設⊙M半徑為r，
則MP=ME=r，
∵CO=4，tanα=

1

2

，
∴BC=COtanα=4×

1

2

=2，
∴BO=

42+22

=2

5

，
∵PC=8，BC=2，
∴MB=PC-BC-MP=8-2-r=6-r，
∵△COB∽△EMB，
∴

ME

CO

=

MB

BO

，
∴

r

4

=

6-r

2 5

． 
∴r=12

5

-24．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及待定系數法求二次函數解析式和銳角三角三角函數關系應用等知識，利用數形結合以及切線的性質得出M點位置是解題關鍵．