Question

已知△ABC中，CD⊥AB于D，過(guò)D作DE⊥AC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，過(guò)F作FG⊥DC，求證：DG=EG．

Answer 1

分析：作FQ⊥BD于Q，在Rt△DEC中，若能夠證明G為DC中點(diǎn)，則有DG=EG，因此此題轉(zhuǎn)化為證明DG與GC相等的問(wèn)題，易得QF=DG，然后利用△BQF≌△FGC證出QF=GC．

解答：證明：作FQ⊥BD于Q，如圖，
∴∠FQB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD，
∴BD∥FG，∠BDC=∠FGC=90°，
∴四邊形DGFQ為矩形，
∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F為BC中點(diǎn)
∴BF=FC，
∵在Rt△BQF與Rt△FGC中，

∠BQF=∠FGC ∠B=∠GFC BF=FC

∴△BQF≌△FGC（AAS），
∴QF=GC，
∵QF=DG，
∴DG=GC，
在Rt△DEC中，
∵G為DC中點(diǎn)，
∴DG=EG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)．