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【題目】如圖,梯形OABC中,O為直角坐標系的原點,A、B、C的坐標分別為(14,0)、(14,3)、(4,3).點P、Q同時從原點出發(fā),分別作勻速運動,其中點P沿OA向終點A運動,速度為每秒1個單位;點Q沿OC、CB向終點B運動,當這兩點中有一點到達自己的終點時,另一點也停止運動.設P從出發(fā)起運動了t秒.

(1)如果點Q的速度為每秒2個單位,①試分別寫出這時點Q在OC上或在CB上時的坐標(用含t的代數式表示,不要求寫出t的取值范圍);

②求t為何值時,PQ∥OC?

(2)如果點P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半,①試用含t的代數式表示這時點Q所經過的路程和它的速度;

②試問:這時直線PQ是否可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能,求出相應的t的值和P、Q的坐標;如不可能,請說明理由.

【答案】(1)點Q在OC上時Q(t,t),點Q在CB上時Q(2t﹣1,3);t=5;(2)v=,點Q所經過的路程為(16﹣t);直線PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分.

【解析】

試題分析:(1)①根據相似三角形的性質即可求得點Q在OC上時的坐標;根據路程即可求得點Q在CB上時的橫坐標是(2t﹣5),縱坐標和點C的縱坐標一致,是3;

②顯然此時Q在CB上,由平行四邊形的知識可得,只需根據OP=CQ列方程求解;

(2)①設Q的速度為v,根據P與點Q所經過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的一半,即可建立函數關系式;

②顯然Q應在CB上,根據面積和①中的結論得到關于t的方程,進行求解.

試題解析:(1)①點Q在OC上時Q(t,t)點Q在CB上時Q(2t﹣1,3).

②顯然Q在CB上,由平行四邊形的知識可得,只須OP=CQ所以2t﹣5=t得t=5.

(2)①設Q的速度為v,先求梯形的周長為32,可得t+vt=16,所以v=,點Q所經過的路程為(16﹣t);

當Q在OC上時,做QM⊥OA,垂足為M,則QM=(16﹣t)×,∴S△OPQ=×(16﹣t)t=t(16﹣t)=S梯形OABC,則令t(16﹣t)=18,解得t1=10,t2=6,當t1=10時,16﹣x=6,此時點Q不在OC上,舍去;當t2=6時,16﹣x=10,此時點Q也不在OC上,舍去;∴當Q點在OC上時,PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分.

當Q點在CB上時,CQ=16﹣t﹣5=11﹣x,∴S梯形OPQC=×(11﹣x+x)×3=≠18,∴當Q點在CB上時,PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分.

綜上所述,直線PQ不可能同時把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分.

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150

200

500

800

1000

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23

31

60

127

203

251

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0.23

0.21

0.30

0.254

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