【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E做直線l∥BC.
(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長.

【答案】
(1)解:直線l與⊙O相切.

理由:如圖1所示:連接OE、OB、OC.

∵AE平分∠BAC,

∴∠BAE=∠CAE.

∴∠BOE=∠COE.

又∵OB=OC,

∴OE⊥BC.

∵l∥BC,

∴OE⊥l.

∴直線l與⊙O相切.


(2)解:∵BF平分∠ABC,

∴∠ABF=∠CBF.

又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.

又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,

∴∠EBF=∠EFB.

∴BE=EF.


(3)解:由(2)得BE=EF=DE+DF=7.

∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,

∴△BED∽△AEB.

,即 ,解得;AE=

∴AF=AE﹣EF= ﹣7=


【解析】(1)連接OE、OB、OC.由題意可證明 ,于是得到∠BOE=∠COE,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OE⊥BC,于是可證明OE⊥l,故此可證明直線l與⊙O相切;(2)先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF,然后再證明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可;(3)先求得BE的長,然后證明△BED∽△AEB,由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長,于是可得到AF的長.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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類型

A

B

單瓶飲料體積/升

1

2.5

單價(jià)/元

3

4


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(1)當(dāng)PN∥BC時(shí),判斷△ACP的形狀,并說明理由;

(2)點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí),當(dāng)AP長為多少時(shí),△ADP△BPC全等,為什么?

(3)點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí),△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)求出夾角α的大小;若不可以,請(qǐng)說明理由.

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根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)2015年北京市二氧化氮年均濃度值為微克/立方米;
(2)請(qǐng)你用折線統(tǒng)計(jì)圖將2013﹣2016年北京市PM2.5的年均濃度值表示出來,并在圖上標(biāo)明相應(yīng)的數(shù)據(jù).

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