Question

4．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC分別交AD、BC于F、E．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若AB=2cm，BC=4cm，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，進(jìn)而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四邊形和菱形的判定得出即可；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AE=CE，設(shè)CE=xcm，則AE=xcm，BE=（4-x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出CE，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=CO，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AFO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}&{\;}\\{∠FOA=∠EOC}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四邊形AECF平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
（2）解：∵四邊形AECF是菱形，
∴AE=CE，
設(shè)CE=xcm，則AE=xcm，BE=（4-x）cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CE=$\frac{5}{2}$cm，
∴四邊形AECF的面積=$\frac{5}{2}$×2=5（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．