Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于F，連接BF.

(1)判斷并證明四邊形AFBD的形狀；

(2)當(dāng)ΔABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形，證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）由于E是AD中點(diǎn)，則AE=DE，而AF∥BC，那么∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA可證△AFE≌△DCE，于是有AF=CD，又AD是中線，則BD=CD，等量代換有AF=BD；
（2）結(jié)論：AB=AC．由（1）知四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形.

解：（1）四邊形AFBD是平行四邊形．

理由如下：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

又∵AF∥BD，

∴∠FAE=∠CDE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△AFE≌△DCE（ASA），

∴AF=CD，

又∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形．

（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵四邊形AFBD為平行四邊形，

∴四邊形AFBD為矩形．