Question

若x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²＋bx＋c＝0的兩個實數(shù)根，且|x₁|＋|x₂|＝2|k|(k是整數(shù))，則稱方程x²＋bx＋c＝0為“偶系二次方程”．如方程x²－6x－27＝0，x²－2x－8＝0，x²＋3x－＝0，x²＋6x－27＝0, x²＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．

(1)判斷方程x²＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；

(2)對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關(guān)于x的方程x²＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并說明理由．

Answer 1

解：(1)不是．理由如下：

解方程x²＋x－12＝0，得x₁＝－4，x₂＝3.

|x₁|＋|x₂|＝4＋3＝2×|3.5|.

∵3.5不是整數(shù)，

∴方程x²＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．

(2)存在．理由如下：

 ∵方程x²－6x－27＝0，x²＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，

∴ 假設(shè)c＝mb²＋n.

當(dāng) b＝－6，c＝－27時，有－27＝36m＋n.

∵x²＝0是“偶系二次方程”，

∴n＝0，m＝－. 即有c＝－b².

又∵x²＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，

當(dāng)b＝3時，c＝－×3²＝－.

∴可設(shè)c＝－b².　

對任意一個整數(shù)b，當(dāng)c＝－b²時，

 ∵Δ＝b²－4c＝4b².

∴ x＝ .∴ x₁＝－b，x₂＝b.

 ∴|x₁|＋|x₂|＝|b|＋|b|＝2|b|.

 ∵b是整數(shù)，∴對任意一個整數(shù)b，當(dāng)c＝－b²時，關(guān)于x的方程x²＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”．