【題目】截長補短法,是初中幾何題中一種添加輔助線的方法,也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等,補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起,從而解決問題.
(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,點D是邊BC下方一點,∠BDC=120°,探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.
解題思路:將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE,可得AE=AD, CE=BD,∠ABD=∠ACE,∠DAE=60°,根據(jù)∠BAC+∠BDC=180°,可知∠ABD+∠ACD=180°,則 ∠ACE+∠ACD=180°,易知△ADE是等邊三角形,所以AD=DE,從而解決問題.
根據(jù)上述解題思路,三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是___________;
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.點D是邊BC下方一點,∠BDC=90°,探索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)DA=DB+DC;(2)DA=DB+DC,證明見解析;
【解析】
(1)結(jié)論:DA=DB+DC.理由:由等邊三角形知AB=AC,∠BAC=60°,結(jié)合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°,由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE,證△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE,再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB.
(2)結(jié)論:DA=DB+DC.理由:延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,先證△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE,據(jù)此可得∠DAE=∠BAC=90°,由勾股定理知DA2+AE2=DE2,繼而可得2DA2=(DB+DC)2;
(1)結(jié)論DA=DB+DC.理由如下:
如圖1,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
又∵∠ACE+∠ACD=180°,
∴∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∵∠ABC=60°,即∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠DAC+∠CAE═60°,即∠DAE=60°,
∴△ADE是等邊三角形,
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB,即DA=DC+DB;
(2)結(jié)論: DA=DB+DC.理由如下:
如圖,將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE
∴AE=AD,CE=BD,∠ABD=∠ACE,∠DAE=90°,
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ACE+∠ACD=180°,
∴點D、C、E在同一條直線上.
∵∠DAE=90°,DA=EA
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DA2+AE2=DE2,
∴2DA2=( DB+DC)2
∴DA=DB+DC.
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【題目】已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.請解答:
(1)點A、C的坐標分別是 、 ;
(2)畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△AB'C';
(3)在(2)的條件下,求點C旋轉(zhuǎn)到點C'所經(jīng)過的路線長(結(jié)果保留π).
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【題目】某公司開發(fā)出一款新包裝的牛奶,牛奶的成本價為6元/盒,這種新包裝的牛奶在正式投放市場前通過代銷點進行了為期一個月(30天)的試營銷,售價為8元/盒.前幾天的銷量每況愈下,工作人員對銷售情況進行了跟蹤記錄,并將記錄情況繪成圖象,圖中的線段表示前12天日銷售量y(盒)與銷售時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系,于是從第13天起采用打折銷售(不低于成本價),時間每增加1天,日銷售量就增加10盒.
(1)打折銷售后,第17天的日銷售量為________盒;
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)已知日銷售利潤不低于560元的天數(shù)共有6天,設(shè)打折銷售的折扣為a折,試確定a的最小值.
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【題目】如圖(1)所示,等邊△ABC中,線段AD為其內(nèi)角角平分線,過D點的直線B1C1⊥AC于點C1交AB的延長線于點B1.
(1)請你探究:=,=是否都成立?
(2)請你繼續(xù)探究:若△ABC為任意三角形,線段AD為其內(nèi)角角平分線,請問=一定成立嗎?并證明你的判斷.
(3)如圖(2)所示Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=,E為AB上一點且AE=5,CE交其內(nèi)角角平分線AD于F.試求的值.
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【題目】如圖,中,,,,動點從點出發(fā),在邊上以每秒的速度向點勻速運動,同時動點從點出發(fā),在邊上以每秒的速度向點勻速運動,運動時間為秒(),連接。
(1)若與相似,求的值;
(2)連接,,若,求的值
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【題目】如圖,△OAB中,OA=OB=10cm,∠AOB=80°,以點O為圓心,半徑為6cm的優(yōu)弧分別交OA、OB于點M、N.
(1)點P在右半弧上(∠BOP是銳角),將OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°得OP′.求證:AP=BP′;
(2)點T在左半弧上,若AT與圓弧相切,求AT的長.
(3)Q為優(yōu)弧上一點,當△AOQ面積最大時,請直接寫出∠BOQ的度數(shù)為 .
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC的頂點均在格點上,請按要求完成下列各題.
(1)以原點O為對稱中心作△ABC的中心對稱圖形,得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并直接寫出點A1,B1,C1的坐標;
(2)求出△ABC的面積.
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【題目】已知拋物線的頂點在第一象限,過點作軸于點,是線段上一點(不與點、重合),過點作軸于點,并交拋物線于點.
(1)求拋物線頂點的縱坐標隨橫坐標變化的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(2)若直線交軸的正半軸于點,且,求的面積的取值范圍.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB為⊙O的直徑.動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動,動點Q從點C開始沿CB邊向點B以3cm/s的速度運動,P、Q兩點同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t,
求:(1)t為何值時,P、Q兩點之間的距離是10cm?
(2)t為何值時,直線PQ與⊙O相切?
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