Question

13．如圖，過點A作⊙O的切線AB，AC，切點分別為B，C，直徑BD的延長線與直線AC交于E，連接DC、OA．
（1）求證：DC∥OA；
（2）若⊙O的半徑為R．
①求DC•OA的值；
②當(dāng)DC=R時，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC、BC，如圖，先利用線段垂直平分線定理的逆定理得到OA垂直平分BC，再利用圓周角定理得到CD⊥BC，于是可判斷CD∥OA；
（2）①證明Rt△AOB∽Rt△BDC，通過相似比可求出DC•OA的值；
②先判斷△OCD為等邊三角形得到∠COD=60°，再利用切線的性質(zhì)得∠OCE=90°，則∠E=30°，然后利用特殊角的三角函數(shù)值值求解．

解答 （1）證明：連接OC、BC，如圖，
∵AB、AC為⊙O的切線，
∴AB=AC，
而OB=OC，
∴OA垂直平分BC，
∵OB為直徑，
∴∠BCD=90°，
∴CD⊥BC，
∴CD∥OA；
（2）解：①∵CD∥OA，
∴∠AOB=∠CDB，
∴Rt△AOB∽Rt△BDC，
∴$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OB}{CD}$，
∴DC•OA=OB•BD=R•2R=2R²；
②∵DC=R，
∴DC=OC=OD，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∵AE為切線，
∴OC⊥AE，
∴∠OCE=90°，
∴∠E=30°，
∴sinE=sin30°=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決①小題的關(guān)鍵是證明△AOB∽Rt△BDC．