Question

已知：如圖，點B在y軸的負半軸上，點A在x軸的正半軸上，且OA=2，tan∠OAB=2．
（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若點C的坐標為（-2，0），在直線AB上是否存在一點P，使△APC與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知數(shù)據(jù)求出OB的長即可求出B的坐標；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），把A（2，0）和B（0，-4）的坐標代入求出k和b的值即可求出直線AB的解析式；
（3）在直線AB上是否存在一點P，使△APC與△AOB相似，過C作P₁C∥OB交AB于P₁，這時△APC與△AOB相似，過C作P₂C⊥AB交AB于P₂，過P₂作P₁D⊥AC于D，則△AOB∽△ACP₂，有相似三角形的性質(zhì)即可求出符合題意的點P的坐標．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
tan∠OAB=

OB

OA

，
∵OA=2，tan∠OAB=2，
∴OB=4，
∵點B在y軸的負半軸上，
∴B（0，-4），

（2）∵OA=2，
∴A（2，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-4=b 0=2k+b

，
∴

k=2 b=-4

，
∴直線AB的解析式為y=2x-4；      

（3）過C作P₁C∥OB交AB于P₁
這時△APC與△AOB相似，
當x=-2時，y=-8，
則P₁（-2，-8），
過C作P₂C⊥AB交AB于P₂，過P₂作P₁D⊥AC于D，
由△AOB∽△ACP₂，求出AP₂=

4 5

5

，
由△AOB∽△ADP₂，求出AD=

4

5

，
則OD=

6

5

，
當x=

6

5

時，y=-

8

5

，
則P₁（

6

5

，-

8

5

），
存在點P₁（-2，-8）或（

6

5

，-

8

5

），使△APC與△AOB相似．

點評：本題考查了銳角三角函數(shù)值的運用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性強，難度大，解題的時要注意分類討論的數(shù)學(xué)思想的運用．