【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A、B,點A坐標為(4,0).

(1)求該拋物線的解析式;

(2)拋物線的頂點為N,在x軸上找一點K,使CK+KN最小,并求出點K的坐標;

(3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當△CQE的面積最大時,求點Q的坐標;

(4)若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P,與直線AC交于點F,點D的坐標為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣ x2+x+4;(2)點K的坐標為(,0);(3)當m=1時,S△CQE有最大值3,此時Q(1,0);(4)存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.所求點P的坐標為:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

【解析】試題分析:(1)把A、C兩點坐標代入拋物線解析式可求得a、c的值,可求得拋物線解析;

(2)可求得點C關(guān)于x軸的對稱點C′的坐標,連接C′N交x軸于點K,再求得直線C′K的解析式,可求得K點坐標;

(3)過點E作EG⊥x軸于點G,設(shè)Q(m,0),可表示出AB、BQ,再證明△BQE≌△BAC,可表示出EG,可得出△CQE關(guān)于m的解析式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得Q點的坐標;

(4)分DO=DF、FO=FD和OD=OF三種情況,分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得F點的坐標,進一步求得P點坐標即可.

試題解析:(1)∵拋物線經(jīng)過點C(0,4),A(4,0),

,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+x+4;

(2)由(1)可求得拋物線頂點為N(1, ),

如圖1,作點C關(guān)于x軸的對稱點C′(0,﹣4),連接C′N交x軸于點K,則K點即為所求,

設(shè)直線C′N的解析式為y=kx+b,把C′、N點坐標代入可得 ,解得 ,

∴直線C′N的解析式為y=x-4 ,

令y=0,解得x=

∴點K的坐標為(,0);

(3)設(shè)點Q(m,0),過點E作EG⊥x軸于點G,如圖2,

由﹣ x2+x+4=0,得x1=﹣2,x2=4,

∴點B的坐標為(﹣2,0),AB=6,BQ=m+2,

又∵QE∥AC,∴△BQE≌△BAC,

,即 ,解得EG= ;

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=(CO-EG)·BQ=(m+2)(4-

= =-(m-1)2+3 .

又∵﹣2≤m≤4,

∴當m=1時,S△CQE有最大值3,此時Q(1,0);

(4)存在.在△ODF中,

(。┤鬌O=DF,∵A(4,0),D(2,0),

∴AD=OD=DF=2.

又在Rt△AOC中,OA=OC=4,

∴∠OAC=45°.

∴∠DFA=∠OAC=45°.

∴∠ADF=90°.

此時,點F的坐標為(2,2).

由﹣ x2+x+4=2,得x1=1+ ,x2=1﹣

此時,點P的坐標為:P1(1+,2)或P2(1﹣,2);

(ⅱ)若FO=FD,過點F作FM⊥x軸于點M.

由等腰三角形的性質(zhì)得:OM=OD=1,

∴AM=3.

∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3.

∴F(1,3).

由﹣ x2+x+4=3,得x1=1+,x2=1﹣

此時,點P的坐標為:P3(1+,3)或P4(1﹣,3);

(ⅲ)若OD=OF,

∵OA=OC=4,且∠AOC=90°.

∴AC=4

∴點O到AC的距離為2

而OF=OD=2<2,與OF≥2矛盾.

∴在AC上不存在點使得OF=OD=2.

此時,不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.

綜上所述,存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.所求點P的坐標為:(1+,2)或(1﹣,2)或(1+,3)或(1﹣,3).

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型號

身高x/cm

人數(shù)

頻率

小號

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0.2

中號

155≤x165

a

0.45

大號

165≤x175

30

b

特大號

175≤x185

5

0.05

(1)這次共抽取__名學生;

2a=__b=__

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