Question

已知：如圖（1），△OAB是邊長為2的等邊三角形，0A在x軸上，點B在第一象限內；△OCA是一個等腰三角形，OC＝AC，頂點C在第四象限，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動點P、Q分別從A、O兩點同時出發(fā)，點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止.
【小題1】求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關系，并寫出自變量t的取值范圍；
【小題2】在OA上（點O、A除外）存在點D，使得△OCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；
【小題3】如圖（2），現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點旋轉（0°＜旋轉角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【小題1】過點作于點．（如圖①）
∵，，∴．
∵，，∴．
在Rt中， 
當時，,,；
過點作于點．（如圖①）

在Rt中，∵，∴，
∴．
即 ．………………………………………2分
【小題2】當時，（如圖②）

，．
∵，，∴．
∴．
即．
故當時，，當時，……………4分
或        …………………6分
【小題3】的周長不發(fā)生變化．
延長至點，使，連結．（如圖③）

∵，∴≌．
∴，  …………………7分
∴．
∴．又∵．
∴≌．∴  ……………………………………9分
∴．
∴的周長不變，其周長為4  ……………………………………10分解析:
（1）由于點Q從點O運動到點C需要秒，點P從點A→O→B需要秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜ ；②≤t＜．針對每一種情況，根據P點所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數(shù)關系，并且得出自變量t的取值范圍
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D在OA邊或者OB邊上兩種情形．每一種情形，都有可能O為頂點，C為頂點，D為頂點，分別討論，得出結果；
（3）如果延長BA至點F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，那么△BMN的周長=BA+BO=4．