Question

如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，BN平分∠ABE交AM于點(diǎn)N，AB=AC=BD．連接MF，NF．

（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）判斷△MFN與△BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

    （1）答：△BMN是等腰直角三角形．

證明：∵AB=AC，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．

∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．

∴△BMN是等腰直角三角形；

（2）答：△MFN∽△BDC．

證明：∵點(diǎn)F，M分別是AB，BC的中點(diǎn)，

∴FM∥AC，F(xiàn)M=AC．

∵AC=BD，

∴FM=BD，即．

∵△BMN是等腰直角三角形，

∴NM=BM=BC，即，

∴．

∵AM⊥BC，

∴∠NMF+∠FMB=90°．

∵FM∥AC，

∴∠ACB=∠FMB．

∵∠CEB=90°，

∴∠ACB+∠CBD=90°．

∴∠CBD+∠FMB=90°，

∴∠NMF=∠CBD．

∴△MFN∽△BDC．