Question

已知二次函數y=-x²+（k+1）x-k的圖象經過一次函數y=-x+4的圖象與x軸的交點A．（如圖）
（1）求二次函數的解析式；
（2）求一次函數與二次函數圖象的另一個交點B的坐標；
（3）若二次函數圖象與y軸交于點D，平行于y軸的直線l將四邊形ABCD的面積分成1：3的兩部分，則直線l截四邊形ABCD所得的線段的長是多少？（直接寫出結果）

Answer 1

分析：（1）本題需先求出A點的坐標，再代入二次函數的解析式即可．
（2）本題需先根據題意列出方程組求出x、y的值即可得出點B的坐標．
（3）本題需先根據題意分兩種情況畫出圖形，再分別進行計算即可得出線段AB的長．

解答：解：（1）由y=-x+4，得A（4，0），
又二次函數圖象經過點A，
則0=-16+4（k+1）-k，
解得k=4，
所以二次函數解析式為y=-x²+5x-4．

（2）由

y=-x+4 y=-x2+5x-4

，
解得

x1=4 y1=0

，

x2=2 y2=2

，
所以點B的坐標為（2，2）．

（3）令y=0代入二次函數得x=1或x=4，
則C點坐標為（1，0）
令x=0代入2此函數得y=-4，則D點坐標為（0，-4）
∴四邊形面積為：

1

2

×（4-1）×2+

1

2

×（4-1）×4=9，
①若直線在點B的左側，
令平行于y軸的直線交BC于E，交CA于F，交AD于G，
求得BC的函數為y=2x-2
則

EF

FC

=

2

1

，
同理求得AD的函數為y=x-4，
∴AF=FG，
設CF=a＞0，
則EF=2a，AF=3-a，FG=3-a，
∴S_△EFC+S_{四邊形FCDG}=S_△EFC+S_梯形OFGD-S_△OCD=

1

2

a•2a+

1

2

（3-a+4）•（a+1）-

1

2

×1×4=3，
解得：a=2

3

-3；
∴EG=EF+FG=2a+3-a=4

3

-6+3-2

3

+3=2

3

；
②若直線在點B的右側，
令平行于y軸的直線交AB于E，交CA于F，交AD于G，
求得AB的函數為y=-x+4，
則EF=FA，
同理求得AD的函數為y=x-4，
∴AF=FG，
設AF=a＞0，
則EF=a，AF=a，FG=a，
∴S_△EFA+S_△AFG=

1

2

a•a+

1

2

a•a=3，
解得：a=

3

，
∴EG=EF+FG=2a=2

3

．
故線段長為2

3

．

點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．