Question

如圖，已知圓O₁與圓O₂相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)O₁A交圓O₁于C，交圓O₂于D，連接CB并延長(zhǎng)交圓O₂于E，AF切圓O₁于A(yíng)，交CE于F．
（1）求證：；
（2）若，圓O₁的半徑為2，且∠C=30°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接AB．
∵AC是直徑，
∴∠CBA=90°．
又∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O₂，
∴∠CBA=∠D=90°．
又∵AF切⊙O₁于A(yíng)點(diǎn)，
∴∠CAF=90°．
∴AF∥DE．
∴．

（2）解：∵，
又∵CA=1，
∴CD=．
在Rt△CDE中，tan30°=，
∴DE=．
分析：（1）觀(guān)察要證明的比例式，則需要證明AF∥DE．連接AB．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠ABC=90°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，得∠CBA=∠D=90°，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，得∠CAF=90°，從而根據(jù)同位角相等，得兩條直線(xiàn)平行；
（2）由（1）得直角三角形CDE，要求DE的長(zhǎng)，已知∠C=30°，只需求得該直角三角形的一邊即可．根據(jù)已知圓的半徑，得AC=4，結(jié)合（1）所證明的比例式即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理以及解直角三角形的知識(shí)．